原标题：自动驾驶（三十九）---------视觉SLAM（李群与李代数）

原文来自：CSDN      原文链接：https://blog.csdn.net/zhouyy858/article/details/101023153

       在 SLAM 中,除了表示位姿之外,我们还要对它们进行估计和优化。因为在 SLAM 中位姿是未知的,而我们需要解决什么样的相机位姿最符合当前观测数据这样的问题。一种典型的方式是把它构建成一个优化问题,求解最优的 R, t,使得误差最小化。而估计、优化是需要进行迭代计算的。但是，旋转矩阵自身是带有约束的(正交且行列式为 1)。它们作为优化变量时,会引入额外的约束,使优化变得困难。通过李群——李代数间的转换关系,我们希望把位姿估计变成无约束的优化问题,简化求解方式。

       三维旋转矩阵构成了特殊正交群 SO(3),而变换矩阵构成了特殊欧氏群 SE(3):

       李群是指具有连续(光滑)性质的群。像整数群 Z 那样离散的群没有连续性质,所以不是李群。而 SO(n) 和 SE(n),它们在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动,所以它们都是李群。

       考虑任意旋转矩阵R，满足 ：  （旋转完一定可以逆旋转回来）

       令R随时间变化（连续运动），有：

       两侧对时间求导，可得：     即：  

       可以看出，这是一个反对称矩阵（转置取负），记为：

        两侧右乘R(t)：，可以认为，对R求导后，左侧多出一个∅(t)

        单位元附近泰勒展开：

        可见∅反映了一阶导数性质，它位于正切空间（tangent space）上，在t0附近，假设∅不变，有微分方程：

             已知初始情况：R(0)=I ，解之，得：  

         上式说明，对任意t，都可以找到一个R和一个的∅对应关系，该关系称为指数映射。在这里这个∅称为SO(3)对应的李代数：so(3）

李代数

        定义：            

       其中二元运算[,]被称为李括号，直观上说，李括号表达了两个元素的差异。对于每个李群，都有与之对应的李代数，李代数描述了李群单位元附件的正切空间性质。那么对于李代数so(3)，我们可以定义：

            其中  

         李括号内的运算为： 同理可得，SE(3)亦有李代数se(3) 

指数映射和对数映射

         指数映射反映了从李代数到李群的对应关系  ，但是ϕ^是一个矩阵，对于矩阵，如何定义求指数运算？由于ϕ^是向量，定义其角度和模长可得：   然后对exp(ϕ^)泰勒展开可得：

      整理：

       而在旋转矩阵中罗德里格斯公式即这个公式，所以，我们可以认为so(3) 的物理意义就是旋转向量。反之，给定旋转矩阵时，亦能求李代数：称为对数映射,但实际当中没必要这样求，矩阵到向量的转换关系可以由矩阵的迹得到

        在此我们已经得出了李群和李代数的对应关系，下面总结一下在SO(3)和SE(3)中的对应关系。       

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