原标题: 剑指Offer(三十一):整数中1出现的次数(从1到n整数中1出现的次数)
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一、引子这个系列是我在牛客网上刷《剑指Offer》的刷题笔记,旨在提升下自己的算法能力。 查看完整的剑指Offer算法题解析请点击CSDN和github链接:剑指Offer完整习题解析CSDN地址 github地址
二、题目求出1~13的整数中1出现的次数,并算出1~1300的整数中1出现的次数?为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现5次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数(从1 到 n 中1出现的次数)。
1、思路方法1:最直观的是,对于1~n中的每个整数,分别判断n中的1的个数,具体见《剑指offer》。这种方法的时间复杂度为O(N*logN),当N比较大的时候,一般会超时。
方法2:这种类别的题目,如果直观求解不行的话,那么通常是进行找规律,转化成一个数学问题。这道题目在《编程之美》上有着比较详细的描述,下面就结合一个实例进行具体的分析:
在分析之前,首先需要知道一个规律:
从 1 至 10,在它们的个位数中,数字1出现了 1 次。
从 1 至 100,在它们的十位数中,数字1出现了 10 次。
从 1 至 1000,在它们的百位数中,数字1出现了 100 次。 依此类推,从 1 至 10i,在它们右数第二位中,数字1出现了10 ^ (i - 1)次。
对于 n = 2134,要找到从1 ~ 2134这2134个数字中所有1的个数。我们可以对2134进行逐位分析:
(1)在个位上,从1~2130,包含213个10,因此数字1出现了213次,剩下的数字2131、2132、2133、2134中个位数上只有2131包含树脂字1,剩下的都不包含。所以个位数上的数字1的总数为213 1 = 214。
(2)在十位上,从1 ~ 2100,包含了21个100,因此数字1出现了21 * 10 = 210次,剩下的数字从2101 ~ 2134,只有2110 ~ 2119这10个数字中十位的数字为1,所以十位上的数字1的总数为210 10 = 220。
(3)在百位上,从1 ~ 2000,包含了2个1000,因此数字1出现了2 * 100 = 200次,剩下的数字从2001 ~ 2134,只有2100 ~ 2134这35个数字中的百位的数字为1,所以百位数上数字1的总数为200 35= 235。
(4)在千位上,包含了0个10000,因此数字1出现了0 * 1000 = 0次,剩下的数字中只有1000 ~ 1999这1000个数字中的千位的数字为1,所以千位上的数字1的总数为1000。
因此从1 ~ 2134这n个数字中,数字出现的总的次数为 214 220 235 1000 = 1669。
总结一下以上的步骤,可以得到这么一个规律:
对于数字n,计算它的第i(i从1开始,从右边开始计数)位数上包含的数字1的个数:
假设第i位上的数字为x的话,则
1.如果x > 1的话,则第i位数上包含的1的数目为:(高位数字 1)* 10 ^ (i-1) (其中高位数字是从i 1位一直到最高位数构成的数字)
2.如果x < 1的话,则第i位数上包含的1的数目为:(高位数字 )* 10 ^ (i-1)
3.如果x == 1的话,则第i位数上包含1的数目为:(高位数字) * 10 ^ (i-1) (低位数字 1) (其中低位数字时从第i - 1位数一直到第1位数构成的数字)
2、编程实现python
代码实现方案:
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
# write code here
if n < 1:
return 0
# mult位数 sumTime出现1的次数和
mult, sumTimes = 1, 0
while n//mult:
div, mod = divmod(n, mult*10)
curNum, curMod = divmod(mod, mult)
if curNum > 1:
sumTimes = div*mult mult
elif curNum == 1:
sumTimes = div*mult curMod 1
else:
sumTimes = div*mult
mult = mult*10
return sumTimes
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